درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی
درس 1: تفکر تجسمی و آشنایی با مقاطع مخروطی
برای دوستتان توصیف کنید که خانهتان چه شکلی است؟ تصور کنید یک اتاق کمتر یا آشپزخانهٔ بزرگتری داشتید، در این صورت خانهٔ جدید، چه شکلی بود؟
به مسیری که هر روز از خانه تا مدرسه طی میکنید، فکر کنید. آیا میتوانید این مسیر را با رسم یک تصویر مناسب توضیح دهید؟
در حالتهای بالا شما به موضوعی فکر کردید، اما از عبارات، جملات و شیوههای زبانی برای تفکر استفاده نکردید. در واقع به جای کلمات، تصاویری در ذهن شما نقش بستند و این تصویرسازی ذهنی، به شما کمک کرد که به آن موضوع یا موقعیت فکر کنید. این شیوه از تفکر را تفکر تجسمی مینامیم.
فرایند تفکر تجسمی، مستلزم تشکیل و دستورزی تصاویر با قلم و کاغذ، فناوری و یا بهصورت ذهنی است که به بررسی، کشف و درک مفاهیم منجر میشود. این نوع از تفکر، نقش مهمی در حل مسئلههای ریاضی و همینطور حل مسائل در زندگی روزمره دارد. موقعیتهایی که میتواند به تقویت تفکر تجسمی کمک کنند عبارتاند از: تجسم ذهنی یک جسم پس از چرخاندن آن در فضا، ترسیم سطح گستردهٔ اجسام هندسی و ترسیم یک جسم سه بعدی روی سطح، ترسیم نماهای مختلف اجسام، دوران شکل حول یک نقطه یا حول یک محور در صفحه و فضا و تجسم اجسام هندسی بعد از برش. از آنجا که هدف کلی این درس آشنایی با مقاطع مخروطی است، از بین این موقعیتها، دوران اشکال هندسی حول یک محور و برش اجسام را بررسی میکنیم.
دوران حول محور
|
|
|
|
وقتی شکلهای هندسی متفاوت حول یک محور دوران داده شود، جسمهای مختلف هندسی ساخته میشود. در فعالیت زیر نمونههایی از این مفهوم ارائه شده است. در هر مورد، شکل حاصل از دوران حول محور را مشخص کنید.
فعالیت (صفحه 123 کتاب درسی)
الف) شکل حاصل از دوران یک مستطیل، حول طول یا عرض آن: ..............................
ب) شکل حاصل از دوران یک پارهخط، حول پارهخط دیگری که بر آن عمود است: ..............................
پ) شکل حاصل از دوران یک مثلث قائمالزاویه، حول یکی از اضلاع قائمه: ..............................
ت) شکل حاصل از دوران یک دایره، حول یکی از قطرهای آن: ..............................
ث) شکل حاصل از دوران یک نیمدایره، حول شعاع عمود بر قطر آن: ............................
برش
در فعالیت قبل، از دوران شکل حول یک محور، یک جسم دو بعدی یا سهبعدی تشکیل شد. حال فرض کنید میخواهیم اجسام سهبعدی را برش بزنیم و تغییرات آن را بعد از برش تجسم کنیم. در زندگی روزمره بارها با برش اجسام مختلف هندسی مواجه بودهاید. این اجسام میتوانند توپر یا توخالی باشند.
فعالیت (صفحه 124 تا 125 کتاب درسی)
الف) بعضی از حالتهای برخورد یک صفحه با یک مکعب مستطیل توخالی با قاعدهٔ مربع شکل، در زیر نمایش داده شده است. در هر یک از حالتها سطح مقطع را مشخص کنید.
|
.............. |
.............. |
.............. |
.............. |
.............. |
ب) سطح مقطع استوانه با صفحههای عمودی، افقی و صفحهٔ مایلی که با قاعدههای استوانه متقاطع نباشد، به چه شکل است؟
|
.............. |
.............. |
.............. |
.............. |
پ) سطح مقطع حاصل از برخورد یک صفحه با یک کره به چه شکل است؟
در چه حالتی این سطح مقطع، بیشترین مساحت ممکن را دارد؟
کار در کلاس (صفحه 125 کتاب درسی)
1) شکل حاصل از دوران حول محور را در حالتهای زیر مشخص کنید و آنها را با هم مقایسه کنید:
| الف) شکل حاصل از دوران نیمخط حول محور
|
ب) شکل حاصل از دوران مثلث قائمالزاویه حول محور
|
2) مستطیلی را حول عرض آن دوران دادهایم.
الف) شکل حاصل را رسم کنید.
ب) سطح مقطع حاصل از برخورد این استوانه و یک صفحه در چه حالتی یک مربع است؟
پ) اگر ابعاد مستطیل، 3و 4 باشد، مساحت سطح مقطع حاصل از برخورد یک صفحهٔ موازی با قاعدهٔ این استوانه چقدر است؟
ت) در حالت پ، اگر صفحهای عمود بر قاعدهٔ استوانه آن را قطع کند، بیشترین مساحت ممکن برای سطح مقطع حاصل چقدر است؟
3) شکل حاصل از دوران یک مثلث قائمالزاویه حول وتر آن چیست؟
آشنایی با مقاطع مخروطی
دو خط $d$ و $l$ در نقطهای مثل $A$ متقاطعاند. اگر خط $d$ را حول خط $l$ دوران کامل دهیم، شکل حاصل یک سطح مخروطی نامیده میشود. در این حالت خط $l$ محور، نقطهٔ $A$، رأس و خط $d$، مولد این سطح مخروطی است.
|
|
|
|
وقتی یک سطح مخروطی توسط یک صفحه برش داده میشود، معمولاً سطح مقطع، یک منحنی است. از آنجا که این منحنیها، حاصل تقاطع یک صفحه با یک سطح مخروطی هستند، مقاطع مخروطی نامیده میشوند. در ادامه با انواع مقاطع مخروطی آشنا خواهیم شد.
|
الف) اگر صفحهٔ $P$ بر محور سطح مخروطی عمود باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل دایره است. |
ب) اگر صفحهٔ $P$ بر محور سطح مخروطی عمود نباشد و در هیچ حالتی با مولد سطح مخروطی موازی نشود و از رأس نگذرد، شکل حاصل بیضی خواهد بود. |
|
پ) اگر صفحهٔ $P$ در یکی از موقعیتها با مولد سطح مخروطی موازی باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل یک سهمی است. |
ت) اگر صفحهٔ $P$ سطح مخروطی را، هم در قسمت بالایی و هم در قسمت پایینی قطع کند و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل را هذلولی مینامیم |
بدین ترتیب مقاطع مخروطی عبارتاند از دایره، بیضی، سهمی و هذلولی.
در ادامهٔ این درس قصد داریم بیضی و ویژگیهای آن را بدون معرفی معادلهٔ آن، مورد بررسی قرار دهیم.
خواندنی
مقاطع مخروطی ابتدا توسط یونانیان باستان مورد مطالعه قرار گرفتند و به مرور زمان در مطالعهٔ مدار سیارهها، ستارههای دنبالهدار و قمرهای مصنوعی کاربردهای زیادی پیدا کردند. این منحنیها همچنین در مطالعهٔ ساختار اتمها، سیستمهای راهنمای هواپیماها، ساخت عدسیها، نقشهبرداری، وسایل نوری، وسایل پیشبینی هوا، ارتباطات قمرهای مصنوعی، ساختن پل و علاوه بر آن در علوم نظامی، پزشکی و اقتصاد به کار میروند.
|
|
|
|
بیضی
حتماً میدانید که به کمک یک تکه نخ چگونه میتوان یک دایره رسم کرد. در این فعالیت میخواهیم ببینیم طریقهٔ رسم بیضی به کمک یک تکه نخ چگونه است و حین انجام این فعالیت، ویژگیهای بیضی را بهتر بشناسیم.
فعالیت (صفحه 128 کتاب درسی)
مانند شکل دو سر نخی به طول $l$ را روی یک صفحه ثابت کنید. دقت داشته باشید که برای رسم بیضی لازم است که طول نخ از فاصلهٔ بین دو میخ، بیشتر باشد. حالا مطابق شکل، مدادتان را در حالتی که تکه نخ از دو طرف کاملاً کشیده شده است، روی صفحه حرکت دهید.
شکل حاصل منحنی بستهای است که به آن بیضی میگوییم.
همانطور که دیدید دو میخ در واقع نشان دهندهٔ دو نقطهٔ ثابت در بیضی هستند. این دو نقطه را کانونهای بیضی مینامند.
اگر کانونهای بیضی را با $F$ و $F'$ نمایش دهیم و نقطهای مثل $M$ یک نقطهٔ دلخواه از بیضی باشد، مجموع فواصل این نقطه از نقاط $F$ و $F'$ یعنی $MF + MF'$ برابر با چیست؟ ....................
بدین ترتیب:
میتوان نشان داد که اگر نقطۀ دلخواه $A$ بیرون بیضی باشد، مجموع فواصل آن از نقاط $F$ و $F'$ بیشتر از $l$ و اگر نقطهٔ دلخواه $B$، داخل بیضی باشد، مجموع فاصلهٔ آن از دو نقطهٔ $F$ و $F'$ کمتر از $l$ خواهد بود.
بیضی زیر را در نظر بگیرید.
در این بیضی کانونها را $F$ و $F'$ نامیدهایم.
در هر بیضی اندازهٔ $FF'$، فاصلۀ کانونی بیضی نامیده میشود.
نقطهٔ میانی پارهخط $FF'$، مرکز بیضی است که آن را نقطهٔ $O$ نامیدهایم. پارهخطی که از کانونهای بیضی میگذرد یعنی $AA'$، قطر بزرگ یا قطر کانونی بیضی است. پارهخطی که در مرکز بیضی بر قطر بزرگ بیضی عمود است، یعنی قطر $BB'$، قطر کوچک بیضی نامیده میشود.
اگر قطر بزرگ بیضی افقی باشد، آن بیضی را بیضی افقی و اگر قطر بزرگ عمودی باشد، بیضی را بیضی قائم مینامیم.
فعالیت (صفحه 129 تا 130 کتاب درسی)
بیضی زیر را در نظر بگیرید. اندازهٔ پاره خطهای $OA$، $OB$ و $OF$ را به ترتیب با $a$، $b$ و $c$ نمایش دادهایم. میدانیم که مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون بیضی مقداری ثابت است.
1) میخواهیم نشان دهیم قطر بزرگ بیضی طولی برابر با همین مقدار ثابت دارد.
در رسم بیضی، حالتی را در نظر بگیرید که نوک مداد روی نقطهٔ $A$ قرار دارد. در این صورت:
$ = AF + AF' = AF + (AF + FF') = 2AF + FF'$ مقدار ثابت (1)
به همین ترتیب فرض کنید نوک مداد روی نقطهٔ $A'$ قرار دارد. در این صورت داریم:
$ = A'F' + A'F = ..................$ مقدار ثابت (2)
از مقایسهٔ رابطهٔ (1) و (2) و برابری سمت چپ دو رابطه داریم: $AF = .......$
پس:
$ = AF + AF' = ..... + AF' = .....$ مقدار ثابت
بنابراین:
سؤال: با توجه به تساوی $AF = A'F'$ نشان دهید که مرکز بیضی قطر بزرگ آن را نصف میکند و از آن نتیجه بگیرید طول قطر بزرگ بیضی برابر $2a$ است.
2) حال قصد داریم رابطهٔ بین $a$، $b$ و را پیدا کنیم.
الف) نقطهٔ $B$ را مطابق شکل روی بیضی در نظر بگیرید. میدانیم این نقطه روی عمود منصف پارهخط $FF'$ است. (چرا؟)
ب) به کمک قسمت قبلی فعالیت، اندازهٔ $BF$ را پیدا کنید.
پ) چه رابطهای بین $a$، $b$ و $c$ وجود دارد؟
ت) آیا مرکز بیضی قطر کوچک را هم نصف میکند؟ چرا؟
بنابراین:
مثال:
اگر در یک بیضی $c = 3$ و $a = 4$ باشد، اندازه قطر کوچک بیضی چقدر است؟
حل:
${b^2} = {a^2} - {c^2} = {4^2} - {3^2} = 16 - 9 = 7 \Rightarrow b = \sqrt 7 $
و بنابراین اندازهٔ قطر کوچک برابر است با $2\sqrt 7 $
کار در کلاس (صفحه 130 کتاب درسی)
1) اگر در یک بیضی داشته باشیم $a = 5$ و $b = 3$، در این صورت اندازهٔ فاصلهٔ کانونی را محاسبه کنید.
2) در یک بیضی افقی طول قطر بزرگ 6 و قطر کوچک 4 واحد است. اگر مرکز این بیضی نقطهای با مختصات $(4,5)$ باشد:
الف) فاصلهٔ کانونی بیضی را پیدا کنید.
ب) مختصات نقاط دو سر قطر بزرگ و قطر کوچک و همچنین کانونهای بیضی را بنویسید.
خروج از مرکز
همان طور که دیدید اندازهٔ قطر بزرگ، قطر کوچک و فاصلهٔ کانونی یک بیضی مقادیری به هم وابسته اند. بدیهی است که همیشه مقدار $a$ از مقدار $b$ و $c$ بیشتر است (چرا؟).
اندازههای $a$، $b$ و $c$ بر شکل بیضی تأثیرگذار است و همواره $\frac{c}{a}$ مقداری بین 0 و 1 است. (چرا؟). هر چه نسبت $\frac{c}{a}$، بزرگتر و به 1 نزدیکتر باشد، شکل بیضی کشیدهتر میشود و هر چه مقدار $\frac{c}{a}$ کوچکتر و به صفر نزدیکتر باشد، شکل بیضی به شکل دایره نزدیکتر خواهد شد.
در ادامه چند بیضی با مقادیر مختلف $e$ رسم شده است. تأثیر اندازهٔ خروج از مرکز را بر شکل بیضی بررسی کنید.
|
|
|
| $\frac{c}{a} = 0/4$ | $\frac{c}{a} = 0/2$ |
|
|
|
| $\frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ | $\frac{c}{a} = 0/6$ |
|
|
|
| $\frac{c}{a} = 0/98$ | $\frac{c}{a} = 0/9$ |
تمرین (صفحه 132 کتاب درسی)
1) در شکل زیر میخواهیم ذوزنقه قائمه را حول محور دوران دهیم.
الف) حجم شکل حاصل را محاسبه کنید.
ب) سطح مقطع این شکل در برخورد با صفحهای که شامل محور دوران باشد، چیست و مساحت آن چقدر است؟
2) مربعی با ضلع 3 واحد مطابق شکل زیر در فاصلهٔ 2 واحد از یک خط راست قرار دارد.
الف) شکل حاصل از دوران این مربع حول محور داده شده را رسم و حجم آن را محاسبه کنید.
ب) سطح مقطع این شکل را در برخورد با صفحهای موازی با قاعدهٔ آن توصیف کنید.
3) اگر یک لوزی با طول قطرهای 6 و 4 حول قطر بزرگ دوران داده شود، حجم شکل حاصل چقدر است؟
4) کانونهای یک بیضی نقاط $(1,3)$ و $(1, - 5)$ است.
الف) فاصلهٔ کانونی، مختصات مرکز بیضی و معادلهٔ قطرهای بزرگ و کوچک بیضی را بنویسید.
ب) اگر $a = 6$ باشد، اندازهٔ قطر کوچک و خروج از مرکز بیضی را پیدا کنید.
5) خروج از مرکز یک بیضی افقی $\frac{4}{5}$، مرکز آن $( - 4, - 1)$ و طول قطر کوچک این بیضی 6 واحد است.
الف) طول قطر کانونی و فاصلهٔ کانونی را محاسبه کنید.
ب) مختصات نقاط دو سر قطر کوچک و قطر بزرگ و کانونهای بیضی را پیدا کنید.
خواندنی
در سالهای گذشته با معادلهٔ $a \ne 0$؛ $y = a{x^2} + bx + c$ آشنا شدید و نمودار آن را سهمی نامیدید. سهمی به بیان دقیقتر، مجموعه نقاطی از صفحه است که از یک خط ثابت داده شده در آن صفحه و یک نقطهٔ ثابت غیر واقع بر آن خط و در همان صفحه، به یک فاصله است. این نقطهٔ ثابت را کانون سهمی و خط ثابت را خط هادی سهمی مینامند.
شکل زیر یک سهمی را نمایش میدهد. همانطور که میبینید تمام نقاط روی سهمی از نقطهٔ ثابت $F$ و خط هادی فاصلهای برابر دارند. اگر از نقطهٔ $F$ به خط هادی عمود کنیم، محل تقاطع خط عمود و سهمی، نقطهای است که به آن رأس سهمی میگویند و در این شکل آن را $S$ نامیدهایم.
نمودارهای زیر، حالتهای مختلف سهمی را نمایش میدهد.
|
|
|
|
سهمیها ویژگی جالبی دارند که در ساخت آینههای سهموی، تلسکوپها، چراغهای جلوی اتومبیل، آنتنهای سهموی رادار و گیرندههای بشقابی تلویزیون کاربرد دارد. پرتوهایی که از کانون سهمی به سهمی برخورد میکنند، موازی با محور سهمی (عمود بر خط هادی) خارج میشوند و بالعکس، پرتوهایی که موازی با محور سهمی به آن میتابند، دقیقاً از کانون سهمی میگذرند.
بهعنوان مثال معمولاً جدارهٔ پشت لامپ خودروها، آیینهای به شکل سهمی است. چراغ خودرو دقیقاً در کانون این سهمی قرار داده میشود و بدین ترتیب شعاعهای نور بعد از برخورد با جدارهٔ آیینهای بهصورت پرتوهای موازی با محور سهمی به جلو بازتاب مییابند و روشنایی بیشتری را موجب میشوند.
جابهجایی اندک لامپ در راستای عمودی، باعث خروج پرتوهای نور رو به بالا یا رو به پایین میشود که اصطلاحاً به آن نور بالا یا نور پایین گفته میشود.
|
|
|
